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Denken mit Zahlzeichen 2017/21 „Ja, glauben sie denn“, habe sie gefragt, Zahlen sind ein Mittel, ein klassisches „Medium“ des Denkens. Zahlzeichen sind erfunden worden, mit ihnen schafft sich der menschliche Geist Übersicht und bringt das sinnlich Wahrnehmbare in seine Ordnung. Gehören zu der Herde 17 oder 24 Schafe? Das war die Frage, zu dessen Lösung in der sumerischen und in der ägyptischen Kultur vor 3.000 Jahren das Zählen und die Zahl-Zeichen benutzt wurden. Wobei es zwischen „Zählen“ und „Zahl“ einen großen Unterschied gibt: Noch den Griechen galt die Null beim Zählen als Platzhalter für nichts und auch die Eins war keine Zahl, weil das Gezählte für sie erst bei der Zwei begann. Durch die schriftliche Darstellung wird die Form von Zahlen zweidimensional. Eine Null-Stelle gibt es nur in der grafisch geordneten Darstellung von Zahlen, beim Reden wäre da ein Nichts. Die zweidimensionale Darstellung macht aus gezählten Gegenständen eine abstrakte Zahl und schafft die Grundlage für das Rechnen mit Zahlen. Tiere können „mehr“ oder „weniger“ unterscheiden, sie haben einen allgemeinen Mächtigkeitseindruck. Bienen erkennen unterschiedliche Anzahlen von Blütenblättern. Diese sinnliche Zahlenwahrnehmung hat aber enge Grenzen, sie reicht meist nur bis zu fünf Gegenständen. Größere Mengen sind in oralen Kulturen nicht erfassbar, sie können nur mit Hilfe von Zahlzeichen aufgefasst werden, die kleinere Einheiten bündeln und aufsummieren. Die Fixierung einer Menge durch Kerbungen ist durch mehr als 20.000 Jahre alte Knochenfunde belegt, die visuell erfassbar waren. Lautzeichen für diese Zahlzeichen hat es offenbar erst sehr viel später gegeben. Der Bedarf, mit größeren Zahlen umzugehen, entstand historisch mit den größeren Siedlungen und Stadtstaaten im Orient. Handel, Tausch, Eigentums- und Besitzverhältnisse wurden dokumentiert, ökonomische Beziehungen, Schulden und Guthaben wurden eindeutig fixiert. Wenn 8.000 Jahre v.u.Z. in Catal-Hüyük ein Haus gebaut werden sollte, konnte der Zimmermann die Balkenlänge nicht nach seiner persönlichen „Elle“ bestimmen. Ebenso mussten Zeitmaße definiert werden, die für Schuldbegleichungen verbindlich waren. Ein Kalender ermöglichte es, Festtage zu bestimmen und ein Händler-Treffen zu planen in einem Umfeld, in dem man sich nicht jeden Tag sowieso sah und so etwas spontan verabreden konnte. Weitaus größere Zahlen als für den irdischen Handel waren erforderlich für die Beobachtung von Regelmäßigkeiten der Natur und für die Berechnung und Dokumentation der Sonnen- und Mondphasen. In allen Phasen der antiken Vorgeschichte der Mathematik hat es eine prahlerischer Rivalität unter den Astronomen gegeben – es machte offenbar Spaß, mit diesen abstrakten Denkmittel zu spielen, und es gab einen Wettbewerb, sich immer noch größere Zahlen auszudenken. Vom Empfinden der Mächtigkeit zur visuellen Zahlen-Darstellung In der anschaulichen Mengencharakteristik wurden Anzahl-Angaben immer zusammen mit den Objekten, um die es ging benannt. Die Zahlworte waren anfangs mit den Ereignissen verbunden, die gezählt werden wollten. Im Altsumerischen bedeutete der laut für „Mann" gleichzeitig „eins", „Frau" bedeutete „zwei". Bei den Fidschi-Insulanern heißen zehn Kähne (= bola) anders als zehn Kokosnüsse (= karo). Es gibt frühe Zahlenbenennungen, bei denen schon die „drei“ als „einszwei“, also durch die Kombination der Laute für „eins“ und „zwei“ ausgedrückt wird. Vier wären nach diesem System „zweizwei“. Ähnlich bei der Verwendung von Zeichen für Zahlen. Im Chinesischen stand das Zeichen mit drei Bäumen für das Wort „Wald". Um bei einer sinnlichen Erfassung der Mächtigkeit einer Menge unterscheiden zu können, dass drei kleine Stücke Fleisch, die nicht „größer“ waren als ein großes, dennoch „mehr“ sein können, musste man sie gedanklich reihen - eins und eins und eins. Das Finger-Rechnen setzt schon ein spezifisch menschliches Zahlendenken voraus, bei dem den Elementen einer (kleinen) Menge Hilfsobjekte zugeordnet werden, eben die Finger. Das Körpergliedzählen reicht bis zehn oder, wenn man die Fußzehen hinzunimmt, bis 20, und stellt die erste Form einer sinnlichen Bündelung dar, die es natürlich in Form eines „Gebindes“ auch ohne Zähl-Anstrengungen gibt. Will man Getreide, Mehl, Milch oder Bier messbar machen, muss man Gefäße als „Bündel" nutzen, Hohlkörper. Wobei auch die ersten Maß-Hohlkörper objektgebunden waren und noch nicht abstrakte Hohl-Maße. Einfache Bündelungen erweitern den Zähl-Raum – sie orientierten sich an den fünf Fingern der Hand. Bündelungen für kleine Einheiten hat es auch als Zehner-, Zwölfer-, Zwanziger-, und Sechziger-Systeme gegeben. Größere Zahlendarstellungen werden mit solchen kleinen Bündelungen sehr kompliziert. Am Anfang des Zählens stand die Zuordnung bestimmter verfügbarer Hilfsmengen zu den zu zählenden Objekten: Finger, Muscheln, Steinchen oder kleine Holzstäbe konnten verwendet werden. Da musste schon die Zahlbezeichnung der Finger oder der Muscheln auf die Menge übertragen werden. Während Tiere wie kleine Kinder ohne schulischen Rechen-Unterricht über ein körperlich-sinnliches Mengen-Denken verfügen, das vier oder fünf konkrete Elemente „auf einen Blick“ erfasst oder zwischen „zwei“ und „vier“ Ereignissen einer zeitlichen Abfolge unterscheiden kann, ist das abstrakte Zählen und die Symbolisierung des Zählens in Zahlen eine Erfindung der menschlichen Kultur. Positionssysteme und die Null Zur kognitiven Bewältigung großer Mengen reichte die einfache Bündelung nicht. Aber es sollte mehr als 2.000 Jahre dauern, bis ein Stellensystem für Zahlen erfunden wurde, mit dem unübersehbar große Mengen durch die visuelle Darstellung in Zahl-Zeichen „auf einen Blick“ erkennbar werden konnten. Erforderlich war dafür nicht nur ein ausgeklügeltes Positionssystem, sondern auch die Erfindung der Null. Sumerische Astronomen ritzten vor 5.000 Jahren zur Unterscheidung von großen Zahlen wie „356“ und „3506“ zwei schräge Pfeile in eine Tontafel. Das ist der der erste erhaltene Dokument aus der langen Geschichte der Null. Rund 3.000 Jahre hat es gedauert, bis nach vielen Umwegen aus diesem „Nichts“, das in Italien als „nulla figura“ bezeichnet wurde, also keine Zahl, die Recheneinheit der Zahl Null wurde. Die Null überschreitet unsere Vorstellungskraft wie das Nichts. Kann die Welt aus dem Nichts erschaffen sein, fragte schon Augustinus. Unvorstellbar. Aber abstraktes Denken beginnt da, wo die sinnliche Vorstellungskraft zurückgedrängt wird, das ist das Geheimnis der Mathematik und der physikalischen Beschreibung von Wirklichkeit. Die Geschichte der Null ist die mühsame Denk-Anstrengung, mit der aus der sichtbaren Abwesenheit einer Zahl die Idee eines Zahlzeichens für das Nichts wird. Mit der Null war in Indien ein Denkmittel erfunden worden, das sich trotz aller philosophischen Bedenken im lateinischen Europa im kaufmännischen Rechnen als nützlich erwies und dann die moderne Mathematik und Technik ermöglichen sollte. Dem unter „Adam Riese“ heute noch berühmten Rechenlehrer Adam Ries aus dem 16. Jahrhundert verdankt die Aufklärung den Durchbruch im Rechnen: Was bis dahin eine geheime Kunst war, wurde mit Adam Riese kinderleicht – dank der Null und des mit der Null darstellbaren dezimalen Positionssystems. Während die Evolution der menschlichen Sprache in ganz unterschiedliche Richtungen führte, liefen die Bemühungen der Rechenkunst zu einem global einheitlichen Ergebnis zusammen. Babylonische, griechische und indische Astronomen haben mit ihren Umwegen und Irrungen dazu Beiträge geleistet. Vollkommen unabhängig davon haben die Astronomen Maya ähnliche Strukturen der Zahlenkunde entwickelt. Die Geschichte der Zahlen-Sprache kennt kein „Babel“, keine Aufspaltung in verschiedene Sprachen. Es ist die einzige „Sprache“, für es heute weltweit keiner Übersetzung bedarf gibt – Mathematiker aus Japan und aus dem Kongo verstehen sich und können ihre Berechnungen ohne Mühe „lesen“. Mit den Mitteln der Zahlen wurde in der Kulturgeschichte das Zeitempfinden quantifiziert, auf eine gerichtete Linie gebannt und berechenbar gemacht. Verdinglichte Substantive beginnen ein Eigenleben in der menschlichen Wahrnehmung zu führen, notierte Norbert Elias in seiner Schrift „Über die Zeit“. So führt der Begriff „Zeit“ ein strenges Regiment über das Leben der Menschen, der „Zeitzwang“ ist für Elias ein Musterbeispiel für zivilisatorische Zwänge in entwickelten Gesellschaften. Elias empfiehlt, das Substantiv „Zeit“ zu vermeiden, wenn man verstehen will, „welche Probleme Menschen mit seiner Hilfe zu bewältigen suchen": Die Zahlen der Zeit schaffen eine symbolische Beziehung im Verhältnis von Geschehenem und Erwarteten, Zeit ist ein „Beziehungssymbol“ zur Ordnung von Geschehensabläufen – angemessener wäre daher, das Verb „timen“ oder „zeiten“ zu benutzen. Als Einheiten der Zahlungsmittel sind die Zahlen zu Metaphern des Maßstabes und der Bedeutung aller Dinge geworden – ein Schaf kann in Goldstücken aufgewogen und in seinem Wert bemessen werden oder neuerdings in Zahlen, die auf ein Stück Papier gedruckt sind. Die „Rechenhaftigkeit“ der Kultur ist für Soziologen wie Werner Sombart und Max Weber ein Kennzeichnen der europäischen Neuzeit. Schon Pythagoras dachten, der Schöpfergott müsse ein Mathematiker gewesen sein, so fasziniert war er von der Erkenntnis, dass die harmonischen Klänge nach einfachen Zahlenverhältnissen bei der Verkürzung einer Saite der Leier entstehen. Auch der Lauf der Gestirne schien ja in seiner Präzision reine Mathematik zu sein. Aber die alten Sumerer und Babylonier wie die Mayas sind bei ihren Bemühungen um einen stimmigen Kalender daran verzweifelt, wie wenig die Umlaufbahnen von Mond und Sonne einfachen Zahlenverhältnissen entsprechen. Bis heute werden Kalender in mathematisch unbefriedigender Weise zusammengebastelt. Geschichte der Zahl Pi oder: Gott war kein Mathematiker Einigermaßen unvorstellbar ist auch, dass die Götter für das Verhältnis von Radius und Kreisumfang einen Wert 3,1415926535 und so weiter erfunden haben könnten – keine vernünftige, rationale Zahl, sondern eine unendliche, unberechenbare, transzendente Zahl. Weil nicht sein darf, was nicht sein kann, wurde dieses Gebilde mystifiziert. Die alten Ägypter rechneten 2.000 v.u.Z. mit 3,16 als einem Näherungswert, Archimedes fand im 3. Jahrhundert immerhin heraus, dass der Wert zwischen dem 3 plus 10/70 und 3 plus 10/71 liegen müsse. In China hat Liu Hui im Jahr 263 das Pi schon auf 5 Stellen nach dem Komma berechnet, Leonardo von Pisa (Fibonacci) kam um 1220 nur auf drei Stellen nach dem Komma. Der persischen Astronomen Al-Khashi errechnete im Jahre 1430 immerhin 16 Stellen. Erst Leonhard Euler hat diese Zahl im 17. Jahrhundert mit einem Zahl-Namen „Pi“ benannt und damit scheinbar eindeutig gemacht, heute rechnen Schüler mit dem „π“ so als wäre es das Selbstverständlichste von der Welt. Der Weltrekord liegt inzwischen bei 22,4 Billionen Stellen hinter dem Komma. Das ist für einen Mathematiker, die die Schönheit der Natur gern durch möglichst einfache Formeln ausdrückt, unbefriedigend und alles andere als göttlich vollkommen. Der Schritt vom mündlichen Zählen zum schriftlichen Rechnen führt die Zahlsymbole als Denkmittel in die menschliche Kultur ein. Das schriftliche Rechnen nutzt die zwei Dimension des Schreibmaterials aus, schriftlich lassen sich komplizierte Zwischenergebnisse speichern. Vor allem aber steht an der Schwelle vom Zählen zum Rechnen die Erfindung der Null, jenes geheimnisvollen Zeichens, das ursprünglich für „nichts“ steht und dann als Platzhalter in einer grafisch strukturierten Zahlensymbolik den großen Unterschied ausmacht – eine Eins und zweimal „nichts“ macht da schon 100! Rechnungen, die man heute Kindern beibringt, verlangten noch im 12. Jahrhundert in Europa die Arbeit mehrerer Tage eines Spezialisten. Denn die frühen Zahlendarstellungen kannten noch kein Positionssystem. Erst mit solchen Positionssystemen werden Ziffernsysteme zur Grundlagen neuer geistiger Fähigkeiten der Menschen. Positionssysteme wurden erstmals von babylonischen Astronomen gegen Beginn des zweiten Jahrtausends entwickelt, sie gab es unabhängig davon bei den Chinesen und auch bei den Astronomen der Maya. In Indien ist die Null als Zahl im Positions-System begriffen worden. Als diese indische Art, Zahlen zu schreiben, in Europa angekommen ist, war das die Grundlage für den Durchbruch der Rechenkunst und der Mathematik. Die Zahlensymbole sind Medien eines komplexen menschlichen Denkens, das zwischen 100 und 101 präzise unterscheiden kann und solche Mengen nicht nur als „irgendwie viel“ empfindet. Erst durch die Zahlensymbole werden große Zahlen konstruierbar und „denkbar“. Ohne die Präzision der Zahlensymbole gäbe es keine Mathematik, keine naturwissenschaftlichen Beschreibungen und keine technischen Konstruktionen. Die mathematische Naturberechnung ist eine Technik des menschlichen Verstandes, die vieles berechenbarer macht als Mythologie, Astrologie und Alchemie. Sie ist ein kognitives Instrument, aber „Sprache der Natur“ ist sie nicht. Und sie befriedigt unsere kognitiven Bedürfnisse nicht. Die Phantasie-Reisen der „virtuellen Realität“ benutzen die abstrakten naturwissenschaftlichen Wahrheiten wie eine Kiste bunter Klötze für ihre Fantasy-Welt. Das dokumentiert das Bedürfnis unseres Gehirns, das, was technisch möglich und mathematisch berechenbar ist, so faszinierend es sein mag, immer wieder zu überflügeln. Mathematische und digitale Techniken des Selbst Seit dem 19. Jahrhundert werden die Zahlen zu Instrumenten, mit denen auch die Natur des Menschen beschrieben und beherrscht wird. Mit den Techniken des 19. Jahrhunderts konnte der Puls gemessen und damit der psychische Stress objektiv messbar gemacht werden, unabhängig von der Selbstwahrnehmung. Der Klang der Stimme, die Bewegungen, Gestik, Motorik, Atmung und Puls konnten scheinbar objektiv aufgezeichnet werden - Körpersignale, die kaum der bewussten Kontrolle unterliegen, wurden messbar. Als Wissenschaft von den gesellschaftlichen Zusammenhängen, die sich der Anschauung entziehen, hat seit dem 19. Jahrhundert die Statistik entwickelt. Herrscher wollten ihr Reich durch die Brille von Zahlen begreifen – das neue deutsche Reich richtete 1872 ein „Statistisches Amt“ ein. Die dauerhafte und möglichst lückenlose Alltagserfassung in Zahlenform wird zum Thema der Staatsraison und der Soziologie. Ist es normal, dass eine junge Frau erst mit 25 Jahren ein Kind bekommt? Mit der Psychoanalyse wurde anerkannt, dass es eine subjektive Wirklichkeit der Triebe gibt, die das Haus der Vernunft wie aus einem dunklen Hintergrund regieren - Soziologie und Psychologie messen sichtbare Folgen der unsichtbaren psychischen Wünsche. Fragen, die vorher Thema der kulturellen Tradition waren, werden nun mit einem Blick ins Zahlenwerk für die gesamte Gesellschaft beantwortet. Das Zahlenwerk hat den Nimbus der Objektivität, vor den Zahlen sind alle Menschen gleich. Natürlich verschwindet die wirkliche Welt in den selektiven und konstruierten Aspekten, die der Welt der Zahlen zugänglich ist. Statistiken geben vor, eine Realität zu zeigen. Individuen werden messbar und vergleichbar. Berechnungen und Zählverfahren waren die Treiber der kapitalistischen Betriebsführung und der modernen staatlichen Planung, subjektive Vorlieben wurden als Risiko für das zahlenbasierte Handeln gewertet. Zahlen kann man nicht widersprechen. Die Autorität der Zahlen beruht auf der Unterstellung, dass Wesentliches erkennbar wird, wenn man von raum-zeitlichen wie komplexen sozialen Gegebenheiten abstrahiert, um Einzelheiten zählbar zu machen. An die Stelle der Verlässlichkeit der Person und der persönlichen Selbst-Auskunft tritt das Vertrauen in die Verlässlichkeit eines Verfahrens, bei dem nur solche speziellen Wirklichkeitsausschnitte ins Visier genommen werden, die zählbar sind. Ein Unfall mit 28 Toten ist eine Sensation, der Fall von einem Toten ist für den Statistik-orientierten Blick auf die Nachrichten vom Weltgeschehen keine Nachricht. Die Frage, und wie da wer gestorben ist, geht bei dem statistischen Blick verloren. Die Fixierung auf die Messergebnisse macht die Selektion und den Kontext, die ihnen zugrunde liegen, unsichtbar. Das Regiment der Zahlen bezieht am Ende auch die Massenmedien ein: Wenn Zuschauer und Zuhörer (und Leser) als Quote die Massenmedien steuern, zählt allein der Klick und der Kick des Medienkonsums, nicht das Motiv. An die Stelle der Selbsterzählung setzt die digitale Welt die Selbstzählung. Mit jedem digitalisierten Klick und jedem Kaufakt produzieren die Menschen Zahlen, nach denen sie eingeordnet werden und die dann ihre Suchergebnisse – die ihnen erscheinende digitale Welt - vorstrukturieren. Wenn die Fitness-App abends moniert, dass die Anzahl Schritte ungenügend war, dann muss die erwischte Person ihr Leben in Ordnung bringen. Am Maßstab der Zahlenwerke erkennen Mitglieder einer sozialen Gruppe, ob sie dazugehören oder sich als Außenseiter verhalten – und verstehen müssen. Die zahlenorientierte Wahrnehmung und Selbstwahrnehmung durchdringt im digitalen Zeitalter jeden Bereich des Lebens bis hin zu der Frage, ob für 25jährige Menschen zwei- oder dreimal Beischlaf in der Woche „normal“ ist. Selbstkontrolle, Fremdkontrolle und Selbstoptimierung werden der Herrschaft der Zahlen unterworfen.
siehe auch Literaturhinweise:
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